Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của phương sai và độ lệch chuẩn

Trong chương trình Toán lớp 12, việc phân tích dữ liệu thống kê đóng vai trò quan trọng để đánh giá độ phân tán của một tập hợp số liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn là hai chỉ số cơ bản giúp chúng ta hiểu rõ mức độ phân tán quanh giá trị trung bình. Đặc biệt, khi dữ liệu được “ghép nhóm” (phân thành các lớp khoảng), ta cần công thức tính gần đúng để ước lượng phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu. Hiểu đúng và vận dụng chính xác các khái niệm này giúp học sinh giải quyết các bài toán thống kê, nhận biết tính ổn định hay biến động của dữ liệu trong thực tế.

Định nghĩa phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Giả sử ta có mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$lớp, mỗi lớp thứ $i$có tần số $f_i$(số quan sát thuộc lớp), và điểm giữa của lớp đó là $m_i$. Tổng số quan sát trong mẫu là $n = sum_{i=1}^k f_ilap{.} Khi đó:<br />1. Trung bình mẫu (cận đúng):$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^k f_i m_i}{n}\,. $<br />2. Phương sai mẫu (ước lượng không chệch): s^2 = \frac{\sum_{i=1}^k f_i\bigl(m_i - \bar x\bigr)^2}{n-1}\,.$
3. Độ lệch chuẩn mẫu: $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k f_i(m_i - \bar x)^2}{n-1}}\,.$

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định điểm giữa$m_i$của mỗi lớp.

Bước 2: Tính tổng tần số $n = \sum f_i$và trung bình mẫu$\bar x = \sum f_i m_i\,/\,n$.

Bước 3: Tính tổng bình phương khoảng cách đến trung bình $\sum f_i (m_i - \bar x)^2\,.$

Bước 4: Áp dụng công thức phương sai $s^2 = \frac{\sum f_i (m_i - \bar x)^2}{n-1} và độ lệch chuẩn$s = \sqrt{s^2}\,. $f_i$| 5 | 12 | 8 | 5

1. Tính điểm giữa mỗi lớp:$m_1=5,\,m_2=15,\,m_3=25,\,m_4=35$.

2. Tổng số quan sát:$n=5+12+8+5=30$.

3. Trung bình mẫu:$\bar x = \frac{5 \cdot 5 + 12 \cdot 15 + 8 \cdot 25 +5 \cdot 35}{30} = \frac{25 +180 +200 +175}{30} = \frac{580}{30} \approx 19.33\,.$

4. Tổng bình phương sai:
$\sum f_i (m_i - \bar x)^2 = 5(5-19.33)^2 +12(15-19.33)^2 +8(25-19.33)^2 +5(35-19.33)^2 <br />$=5 \cdot 204.44 +12 \cdot 18.78 +8 \cdot 32.11 +5 \cdot 246.78 \approx 1022.2 +225.4 +256.9 +1233.9 =2738.4\,." data-math-type="inline"> undefined

Ví dụ cụ thể

Cho bảng tần số mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Lớp | [0;10) | [10;20) | [20;30) | [30;40)
Tần số $f_i$| 5 | 12 | 8 | 5

1. Tính điểm giữa mỗi lớp:$m_1=5,\,m_2=15,\,m_3=25,\,m_4=35$.

2. Tổng số quan sát:$n=5+12+8+5=30$.

3. Trung bình mẫu:$\bar x = \frac{5 \cdot 5 + 12 \cdot 15 + 8 \cdot 25 +5 \cdot 35}{30} = \frac{25 +180 +200 +175}{30} = \frac{580}{30} \approx 19.33\,.$

4. Tổng bình phương sai:
$\sum f_i (m_i - \bar x)^2 = 5(5-19.33)^2 +12(15-19.33)^2 +8(25-19.33)^2 +5(35-19.33)^2 <br />$=5 \cdot 204.44 +12 \cdot 18.78 +8 \cdot 32.11 +5 \cdot 246.78 \approx 1022.2 +225.4 +256.9 +1233.9 =2738.4\,.$

5. Phương sai mẫu:$s^2 = \frac{2738.4}{30-1} = \frac{2738.4}{29} \approx 94.43\,.$

6. Độ lệch chuẩn mẫu:$s = \sqrt{94.43} \approx 9.72\,.$

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

– Nếu có lớp mở đầu hoặc mở cuối (ví dụ [40; ), ta chọn giá trị điểm giữa ước lượng hợp lý.
– Khi mẫu nhỏ (n dưới 30), sai số xấp xỉ có thể lớn hơn, cần chú ý độ tin cậy.
– Luôn phân biệt công thức mẫu (chia cho$n-1$) và công thức tổng thể (chia cho$n$).

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương sai và độ lệch chuẩn liên quan chặt chẽ đến: trung bình mẫu, các moment của phân phối, hệ số biến thiên, và là cơ sở để tính khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết, cũng như xác suất trong phân phối chuẩn.

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Lớp | [0;5) | [5;10) | [10;15) | [15;20)
Tần số $f_i$| 4 | 6 | 10 | 5

a) Tính$\bar x$,$s^2$và $s$.

Lời giải: Điểm giữa: 2.5, 7.5, 12.5, 17.5;$n=25$;$\bar x=(4 \cdot 2.5+6 \cdot 7.5+10 \cdot 12.5+5 \cdot 17.5)/25= (10+45+125+87.5)/25=267.5/25=10.7$;
Tổng bình phương sai:$4(2.5-10.7)^2+6(7.5-10.7)^2+10(12.5-10.7)^2+5(17.5-10.7)^2 \approx 4 \cdot 67.24+6 \cdot 10.24+10 \cdot 3.24+5 \cdot 46.24=268.96+61.44+32.4+231.2=593.••$
$s^2=593.••/24 \approx 24.72$,$s \approx 4.97$.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

– Nhầm lẫn lớp và điểm giữa;– Quên chia cho$n-1$khi tính phương sai mẫu; – Tính nhầm tổng bình phương sai; – Không phân biệt mẫu và tổng thể.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

1. Phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2=\sum f_i(m_i-\bar x)^2/(n-1)$;2. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}$; 3. Luôn xác định chính xác điểm giữa và tần số;4. Phân biệt công thức mẫu (ch chia$n-1$) với công thức tổng thể (ch chia$n$).