1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của xác suất có điều kiện​

Xác suất có điều kiện (conditional probability) là một khái niệm trung tâm trong ngành xác suất – thống kê. Trong thực tế, khi ta biết trước một sự kiện đã xảy ra, xác suất của các sự kiện liên quan sẽ thay đổi so với ban đầu. Hiểu và vận dụng xác suất có điều kiện giúp học sinh lớp 12:​
- Giải quyết các bài toán thực tiễn, như phân tích rủi ro tài chính, y sinh, kỹ thuật.
- Là tiền đề để tiếp cận định lý Bayes, mô hình Markov, và các khái niệm nâng cao trong thống kê.​

Ở cấp độ Toán lớp 12, xác suất có điều kiện xuất hiện thường xuyên trong câu hỏi ôn thi THPT Quốc gia và các đề thi đại học, do vậy nắm vững kiến thức này là rất cần thiết.

2. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho không gian xác suất

$$(\\Omega, \\mathcal{F}, P)$$

và hai biến cố $A$và $B$với$P(B)>0$. Xác suất của$A$khi biết$B$ đã xảy ra, ký hiệu$P(A\mid B)$, được định nghĩa như sau:

Trong đó:
-$P(A\ \cap B)$là xác suất cả hai biến cố $A$và $B$cùng xảy ra.
-$P(B)$là xác suất biến cố $B$xảy ra.

Công thức này phản ánh tỷ lệ phần của không gian con$B$mà biến cố $A$cũng xảy ra.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa
3.1. Bước 1: Xác định biến cố $A$và $B$

Điều đầu tiên cần làm là mô tả rõ biến cố $A$và $B$trong bài toán. Ví dụ:

Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Gọi:
-$A$: biến cố “lá bài là lá hình (J, Q, K)”.
-$B$: biến cố “lá bài là lá đỏ”.

Ta có:

3.2. Bước 2: Tính$P(B)$và $P(A\ \cap B)$

- Số lá đỏ: 26, nên$P(B)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}.$
- Số lá hình đỏ: có 6 lá (J♥, Q♥, K♥, J♦, Q♦, K♦), nên$P(A\ \cap B)=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}.$

3.3. Bước 3: Tính xác suất có điều kiện

Áp dụng công thức:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\ \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{26}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{26}\ \times 2=\frac{3}{13}.$

Kết luận: Khi biết lá bài lấy được là lá đỏ, xác suất để lá đó là lá hình là $3/13$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
- Điều kiện $P(B)>0$là bắt buộc; nếu$P(B)=0$, $P(A\mid B)$không xác định.
- Nếu$A$và $B$độc lập thì$P(A\mid B)=P(A). <br>- Công thức xác suất toàn phần kết hợp với xác suất có điều kiện:<br>$P(A)=\\sum_{i}P(A\\mid B_i)P(B_i),$<br> với$(B_i)$ là một bảng phân hoạch không gian mẫu.

Lưu ý: Khi vận dụng vào bài toán thực tế, phải xác định đúng bảng phân hoạch và tính toàn bộ xác suất từng ô phân hoạch.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
- Định lý Bayes:$P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}.$
- Biến ngẫu nhiên rời rạc: tính hàm khối xác suất có điều kiện$P(X=x\mid Y=y)$.
- Độc lập:$P(A\ \cap B)=P(A)P(B)$. Nếu và chỉ nếu$P(A\mid B)=P(A)$.
- Luật xác suất toàn phần: liên kết nhiều biến cố phụ thuộc hoặc không.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Túi có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh. Lấy 1 viên bi rồi bỏ đi, rồi lấy thêm 1 viên. Gọi:
-$B$: biến cố “viên bi thứ nhất lấy ra là đỏ”.
-$A$: biến cố “viên bi thứ hai lấy ra là đỏ”.

Giải:

-$P(B)=\frac{3}{5}.$
- Khi$B$xảy ra, còn lại 2 bi đỏ và 2 bi xanh, nên$P(A\mid B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$
Vậy

Nếu hỏi$P(A\mid B)$thì kết quả là $1/2$.

Bài tập 2: Cho hộp A có 2 bóng trắng và 3 bóng đen; hộp B có 4 trắng, 1 đen. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi rút một bóng. Gọi:
-$H_A$,$H_B$: chọn hộp A, B.
-$W$: rút được bóng trắng.

Tính$P(H_A\mid W)$.

Giải:
-$P(H_A)=P(H_B)=\frac{1}{2}.$
-$P(W\mid H_A)=\frac{2}{5},\quad P(W\mid H_B)=\frac{4}{5}.$
- Theo xác suất toàn phần:$P(W)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$
- Áp dụng Bayes:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
- Quên kiểm tra điều kiện$P(B)>0$trước khi tính.
- Nhầm lẫn giữa$P(A\ \cap B)$và $P(A)P(B)$(chỉ đúng khi độc lập).
- Không phân tích rõ bảng phân hoạch khi dùng định lý xác suất toàn phần.
- Tính sai số lượng trong bài toán tổ hợp dẫn đến sai$P(A\ \cap B)$hoặc$P(B)$.

Cách tránh: Luôn ghi rõ các bước sau: xác định$A,B$; tính$P(B)$; tính$P(A\ \cap B)$; rồi áp dụng công thức.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
- Xác suất có điều kiện:$P(A\mid B)=\frac{P(A\ \cap B)}{P(B)}, P(B)>0.$
- Nếu$A,B$độc lập thì$P(A\mid B)=P(A)$.
- Luôn kiểm tra điều kiện$P(B)>0$.
- Kết hợp với xác suất toàn phần và định lý Bayes để giải bài toán phức tạp.
- Luyện tập qua các ví dụ thực tế và đề thi THPT Quốc gia để thành thạo.