Luyện tập phân tích hàm phân thức qua các bài tập sau:

1. Bài 1: Tìm TXĐ và tiệm cận của $y = \frac{2x-1}{x+3}$ . Đáp: $D = \mathbb{R}\setminus\{-3\}$ ; tiệm đứng $x=-3$ ; tiệm ngang $y=2$ .

2. Bài 2: Tìm TXĐ của $y = \frac{x-1}{x^2-4}$ . Đáp: $Q=0: x=\pm 2$ . $D = \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ . Tiệm đứng: $x=2$ và $x=-2$ ; tiệm ngang: $y=0$ .

3. Bài 3: Tìm tiệm cận ngang của $y = \frac{3x^2+1}{x^2-1}$ khi $x \to \infty$ . Đáp: $\lim = 3/1 = 3$ ; tiệm ngang $y=3$ .

4. Bài 4: Rút gọn và tìm tiệm cận: $y = \frac{x^2-4}{x-2}$ . Đáp: $y = x+2$ ( $x \neq 2$ ). Không có tiệm cận, chỉ có điểm loại bỏ $(2, 4)$ .

Khi làm bài về hàm phân thức, học sinh hay mắc các sai lầm sau:

• Sai lầm 1: Không rút gọn trước. Phải phân tích tử/mẫu và rút gọn nhân tử chung trước khi xác định tiệm cận. Nếu $P(a) = Q(a) = 0$ , điểm $x=a$ có thể chỉ là điểm loại bỏ, không phải tiệm cận đứng.

• Sai lầm 2: Nhầm tiệm cận ngang. $\lim_{x\to+\infty} y \neq \lim_{x\to-\infty} y$ là hoàn toàn có thể, nên cần tính cả hai giới hạn.

• Sai lầm 3: Quên điều kiện xác định. Luôn ghi rõ $D$ khi trình bày lời giải.

• Sai lầm 4: Nhầm hàm phân thức với hàm phân số. Hàm phân thức có P, Q là đa thức – không áp dụng nhầm cho hàm chứa căn hay logarit.

Bạn Giỏi nhắc nhở: với hàm bậc 1/bậc 1 ( $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ), luôn có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang (khi $c \neq 0$ , $ad - bc \neq 0$ ).

Hàm phân thức (hay hàm số hữu tỉ) là hàm số có dạng $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức và $Q(x) \neq 0$ . Đây là một trong những loại hàm số quan trọng trong chương trình Toán lớp 12.

Bạn Giỏi trình bày chi tiết định nghĩa, tập xác định, đường tiệm cận ngang và đứng, và các bước phân tích đồ thị hàm phân thức – những kiến thức thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia.

Hàm phân thức mở rộng từ hàm đa thức và liên quan chặt chẽ đến khảo sát hàm số, tính đơn điệu, cực trị, và các phép biến đổi đồ thị – tất cả đều là kiến thức trọng tâm trong ôn thi lớp 12.